Detalle del libro
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1. Introducción y generalidades sobre ecuaciones
diferenciales
1.1. ¿Qué es una ecuación diferencial? Un poco de historia
1.2. Ecuación en derivadas parciales (EDP)
1.3. Interés de las ecuaciones diferenciales.
1.4. Orden de una ecuación diferencial y número de
constantes tras la integración. Concepto de solución
1.5. Linealidad y no linealidad en una ecuación diferencial
1.6. Forma normal o explícita de la ecuación. Forma implícita.
Otras formas
1.7. Concepto de problema de valor inicial (PVI)
1.8. Familia n-paramétricas de soluciones
1.9. Campo de pendientes asociado a una ecuación diferencial
de primer orden. Método de Euler
1.10. Modelización y ecuaciones diferenciales
2. Ecuaciones de primer orden separables, exactas y
reducibles a exactas mediante factores integrantes
2.1. Ecuaciones de variables separadas
2.2. Ecuaciones exactas
2.3. Ecuaciones reducibles a exactas mediante factores
integrantes
2.4. Aplicación a la modelización del avance de una
máquina quitanieves
3. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
3.1. Ecuación lineal homogénea y completa
3.2. Estructura de espacio vectorial de las soluciones de
la homogénea asociada
3.3. Método de Lagrange de variación de las constantes
para la determinación de una solución particular de la
ecuación completa
3.4. Método de coeficientes indeterminados para la
determinación de una solución particular de la
ecuación completa
3.5. Aplicación de las ecuaciones lineales a los problemas
de crecimiento/decrecimiento, enfriamiento/
calentamiento de Newton y modificación de precios
de artículos.
4. Cambio de variable en las ecuaciones de primer
orden
4.1. Diferentes tipos de cambio de variable en las ecuaciones
diferenciales de primer orden
4.2. Ecuación de Bernoulli
4.3. Ecuación de Riccati
4.4. Modelo logístico como mejora del modelo exponencial
4.5. Variantes del modelo logístico
Este libro se ha diseñado para estudiantes de ciencias e ingeniería y particularmente para los de Ingeniería, teniendo siempre presente el objetivo de motivar y desarrollar la capacidad de razonamiento matemático y la de saber aplicar las ecuaciones diferenciales a la resolución de problemas de ingeniería.
El libro está basado en los cursos que el autor ha venido impartiendo durante años sobre ecuaciones diferenciales y, en particular, en los diez últimos años en las asignaturas de Cálculo II y Ecuaciones Diferenciales.
Su contenido se orienta hacia las técnicas de resolución analítica de los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas haciendo hincapié en los procesos de modelización de los problemas científico-técnicos, tratando así de que las aplicaciones se vean como un proceso natural. Se destaca que el objetivo de resolver ecuaciones diferenciales en contextos aplicados, no está solamente en obtener soluciones y expresiones de las mismas, sino también en saber interpretarlas dentro de los procesos y modelos matemáticos que con ellas se formulan.
Para aquellos casos donde la determinación de las soluciones de forma analítica resulta muy laboriosa o incluso imposible se exponen técnicas numéricas que permiten la aproximación de dichas soluciones, desarrollando pequeños códigos en Matlab/Octave para la realización de los cálculos y para ilustrar también las soluciones de manera gráfica.
En estas situaciones, donde los procedimientos de resolución analítica resultan limitados, el lector debe comprender que las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones deben situarse, dentro del área de los modelos numéricos.