ECUACIONES DERIVADAS PARCIALES. 25 PROBLEMAS ÚTILES - Tecno-Libro

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1. Introducción a las Ecuaciones en Derivadas Parciales
1.1. Conceptos preliminares
1.2. Ecuación semi-lineal de primer orden en dos variables
1.3. Condiciones iniciales
1.4. Ecuaciones semi-lineales de segundo orden en dos variables
1.5. Características en sistemas de ecuaciones casi-lineales de primer orden y dos variables

Ejercicios y cuestiones

2. Ecuaciones en Derivadas Parciales de Primer Orden
2.1. Método de las características
2.2. Método de Lagrange

Ejercicios y cuestiones


3. Ecuación de Ondas
3.1. Ecuación de ondas unidimensional
3.2. Ecuación de ondas en dominios semi-infinitos
3.3. Método de las características para la ecuación de ondas
3.4. Principio de Duhamel
3.5. Problema completo (principio de superposición)

Ejercicios y cuestiones

4. Ecuaciones de tipo elíptico y parabólico
4.1. Ecuaciones de Laplace y Poisson
4.2. Fórmulas de Green
4.3. Problema de contorno para las ecuaciones de Laplace y Poisson
4.4. Soluciones fundamentales de la ecuación de Laplace
4.5. Problemas bien planteados en dominios no acotados
4.6. Ecuación del calor

Ejercicio y cuestiones


5. Método de Separación de Variables

5.1. Esbozo delmétodo
5.2. Problemas de Sturm-Liouville
5.3. Separación de variables para condiciones homogéneas
5.4. Ecuaciones no homogéneas

Ejercicios y cuestiones

25 Problemas útiles

Las notas que se desarrollan a continuación tienen el objetivo de ser una introducción elemental a las ecuaciones en derivadas parciales. Estas ecuaciones aparecen en muchos modelos que son de interés en Física e Ingeniería. De hecho, los temas aquí tratados vienen siendo impartidos con carácter obligatorio en los planes de estudio de Ingeniería Aeronáutica de la Universidad Politécnica de Madrid desde su inclusión en el plan 1974.

El papel que juegan las ecuaciones en derivadas parciales en los modelos físicos ha hecho que
presentemos la materia de modo que se acomode al buen planteamiento de dichos modelos.
Así se introduce el concepto de curva o superficie característica, de importancia crucial en el
establecimiento de los llamados problemas de condición inicial. Los diferentes tipos de ecuaciones se presentan siempre con los tipos y cantidad de condiciones que les suelen acompañar para que el problema físico esté bien planteado (existencia y unicidad de solución básicamente). Se ha tratado también de hacer uso, en lo posible, de interpretaciones geométricas de los resultados, que son de gran importancia para comprender el aspecto cualitativo de los mismos.

Se incluyen en este curso, además, algunas de las técnicas más empleadas para la resolución
analítica de problemas lineales. En particular se introduce el llamado método de separación de
variables, que permite resolver una gran variedad de problemas mixtos y de contorno.

Debe advertirse, no obstante, que no se pretende aquí hacer una recopilación exhaustiva de técnicas
analíticas para la obtención de determinadas soluciones de problemas concretos. Con los potentes métodos y medios de cálculo computacional disponibles en la actualidad, tal objetivo se nos antoja pretencioso. La idea es más bien obtener un cierto grado de sensibilidad acerca del comportamiento cualitativo de las soluciones de los problemas más sencillos de la Físico-Matemática.

Tarea que creemos es previa al uso masivo de medios computacionales para la resolución de
cualquier problema de ecuaciones en derivadas parciales.

Queremos, por último, expresar nuestro agradecimiento a todos aquellos compañeros de trabajo que con sus comentarios y críticas han ido ayudando en la imposible tarea de pulir y mejorar las presentes notas.