ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. DEFINICIONES, TEOREMAS Y RESULTADOS - Tecno-Libro

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Capítulo 1. Conceptos generales 1 1.1. Ecuaciones diferenciales 1 1.2. Interpretación geométrica de una EDO de primer orden 7 1.3. Sistema de ecuaciones diferenciales 9 Ejercicios y Cuestiones 11

Capítulo 2. Métodos de resolución 17 2.1. Ecuación diferencial ordinaria de primer orden 17 2.2. Ecuación diferencial ordinaria de orden n 41 Ejercicios y Cuestiones 49

Capítulo 3. Problema de Cauchy. Teoría cualitativa 63 3.1. Problema de Cauchy 63 3.2. Existencia, unicidad y prolongabilidad de la solución 66 3.3. Ecuaciones no resueltas en la derivada 79 3.4. Dependencia de parámetros y condiciones iniciales 80 3.5. Estabilidad de la solución 82 3.6. Ecuación autónoma de primer orden 86 Ejercicios y Cuestiones 91

Capítulo 4. Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales 109 4.1. Sistema lineal de ecuaciones diferenciales 109 4.2. Sistema lineal homogéneo 111 4.3. Sistema lineal completo 116 4.4. Cálculo de la matriz fundamental 120 4.5. Ecuación lineal de orden n 122 4.6. Estabilidad de un sistema lineal 125 Ejercicios y Cuestiones 129

Capítulo 5. Sistema lineal de coeficientes constantes 139 5.1. Matriz fundamental del sistema homogéneo y. = A y 139 5.2. Ecuación lineal de coeficientes constantes 154 5.3. Estabilidad de un sistema lineal de coeficientes constantes 156 Ejercicios y Cuestiones 159

Capítulo 6. Ecuaciones lineales de coeficientes analíticos 185 6.1. Función analítica 185 6.2. Punto regular 188 6.3. Punto singular regular 192 Ejercicios y Cuestiones 197

Capítulo 7. Sistemas autónomos. Teoría cualitativa 223 7.1. Sistemas autónomos de segundo orden 223 7.2. Sistemas autónomos lineales 226 7.3. Sistemas autónomos no lineales 230 Ejercicios y Cuestiones 239

Capítulo 8. Problema de Cauchy. Integración numérica 263 8.1. Integración numérica de un problema de Cauchy 263 8.2. Métodos unipaso 267 8.3. Métodos lineales multipaso 272 8.4. Códigos en Fortran 276 Ejercicios y Cuestiones 285

Apéndice. Complementos sobre matrices 307 A.1. Autoespacios generalizados 307 A.2. Exponencial de una matriz 311

De todas las asignaturas de matemáticas que se estudian en una carrera científica o técnica, la de Ecuaciones Diferenciales es probablemente la que encuentra mayor y más directa aplicación. Muchos de los problemas planteados en campos tan diversos como Biología, Física, Química, Ingeniería o Economía involucran ecuaciones diferenciales en su modelización. Hoy en día existen programas de cálculo simbólico que son capaces de resolver analíticamente una ecuación diferencial, siempre que ésta sea resoluble o, en caso de que no lo sea, aportan una solución numérica particular. Este hecho puede llevar a pensar que el estudio de las ecuaciones diferenciales resulta actualmente un esfuerzo inútil e innecesario. Nada más lejos de la realidad. Antes de abordar el problema de resolver una ecuación diferencial es fundamental tener la máxima información sobre el comportamiento de sus soluciones. Por ejemplo, si estamos buscando una solución particular que pase por cierto punto del espacio, es necesario saber, a priori, si por ese punto pasa alguna solución, si ésta es única, etc. Por otra parte, una vez obtenida la solución, es importante saber si reproduce el comportamiento esperado y, por tanto, la podemos dar por válida, o, por el contrario, lo que hemos obtenido es una solución ficticia propia de ciertos métodos numéricos de resolución. Este libro presenta el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias no sólo desde el punto de vista más mecánico de los métodos analíticos de resolución, sino desde una perspectiva más profunda que incluye el análisis cualitativo de las soluciones. Se abordan aspectos como la existencia, unicidad y prolongabilidad de solución, la regularidad y estabilidad de las mismas. Todo ello aplicado a un amplio espectro de ecuaciones diferenciales. Gran parte del texto está dedicado al estudio de las ecuaciones diferenciales lineales, principalmente por dos razones. Existe una extensa teoría acerca del comportamiento de sus soluciones con una constante interrelación con los conceptos de cálculo, álgebra lineal y análisis que la hacen muy atractiva e intuitiva. Además, muchos de los modelos planteados para describir los procesos de evolución son lineales o, en su defecto, recurren a una aproximación lineal como herramienta esencial para analizar el comportamiento local. Todos estos aspectos se tratan en el texto, desde el punto de vista teórico, con rigor y claridad, apoyados con cuestiones y ejemplos de aplicación directa de los conceptos explicados. Esta metodología pretende concienciar al alumno de la sencillez con la que se pueden aplicar en la práctica conceptos teóricos que pueden parecer muy abstractos. Al final de cada capítulo se recoge una pequeña colección de ejercicios que trata los aspectos más significativos del tema.